以前写的，后来临近期末没写完。

securtity 证券

asset 资产

stock 股票

在表示一种商品的时候，会混用。

Chapter 2

security

security 证券的 payoff

$x^j = \begin{bmatrix} x_1^j \\ \vdots \\ x^j_s \end{bmatrix}$

下标 $s$ 表示 state，在不同状态的未来有不一样的 payoff。

定义 security structure

$X = \begin{bmatrix} x^1_1 &x_1^2 &\cdots &x_1^{J-1} &x_1^J \\ x^1_2 & x_2^2 & \cdots& x_2^{J-1}&x_2^J\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\x^1_{S-1}&x^2_{S-1}& \cdots & x_{S-1}^{J-1}& x_{S-1}^{J}\\x_S^1 & x_S^2 & \cdots& x_S^{J-1}& x_S^J \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x^1&x^2 &\cdots& x^{J-1}&x^J\end{bmatrix}$

j 表示债券序号

当 $X$ 是满秩的时候，称为完全市场，因为在 $R^s$ 中任意资产价格组合（在任何 state 都可以有想要的 payoff ）都可以被 $X$ 中的 $J$ 种债券组合出来。

否则称为不完全市场。

标准正交基向量称为 Arrow-Debreu securities.

$X^{AD}=\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1 &\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\0&0&\cdots&1 \end{pmatrix}$

short-sell ：证券除了买，也可以卖。在图中画的话就是这个证券反向。

portfolio

是 $h\in R^j$ 一个列向量

表示每种证券取的数量

$portfolio\;payoff = \sum^j_{j=1}h_jx^j=Xh$

Asset Span $<X> = {z \in R^S : \exist h \in R^J \;such\;that \; z= Xh}$

就是能被 $Xh$ 表示出来的 portfolio 集合。

所有 $<X> = R^S$ 的时候就是 complete market.

所以，complete market 当且仅当 $rank(X)=S$ 也就是市场上至少存在 $S$ 个线性独立的证券。

所以当存在 $x^j = Xh\;且\; h_j=0$ ，（$j$ 这个资产完全可以由别的组合出来，也就是 $j$ 和其他资产不是线性独立的）则 $j$ 是多余的。

price

$p\in R^j$ 因为 portfolio 是列向量，所以 price 是行向量。乘下来是一个1*1，即一个数。

The cost of portfolio $h$ is given by

$p\times h = \sum^{J}_{j=1}p_jh_j$

如果 $p_j \ne 0$ 则 收益 $R_j = \frac{x^j}{p_j}$

Return = payoff / prize

Use option to complete the market

假设一个 stock 的 payoff为

$s=\begin{pmatrix}1\\2\\3\\\vdots\\S-1\\S\end{pmatrix}$

如果引入 call option 则

$payoff = max(0,s-k)$，

s = future prize

k = strike prize

如果引入 S-1 个 call option 对应 $k=1,\cdots,S-1$ 则我们可以得到如下如下证券。

$c_1=(0,1,2,\cdots,S-2,S-1)'$

$c_2 = (0,0,1,\cdots,S-3,S-2)'$

$c_{S-1} = (0,0,0,0,0,\cdots,0,1)'$

结合原有的 stock 可以组成 security structure

$X= \begin{pmatrix} 1&0&\cdots &0\\ 2&1&\cdots&0\\ \vdots & \vdots& \vdots&\vdots\\ S & S-1 &\cdots &1 \end{pmatrix}$

是一个上三角矩阵，行列式的值为1（主对角线的乘积)，所以是个满秩矩阵，所以市场完备。

Chapter 3

几个符号

• $y \ge x$ 对任意$i$ $y_i \ge x_i$

• $y>x$ if $y\ge x$ and $y \ne x$ （可以有部分 $y_i=x_i$）

• $y >> x$ 对任意 i , $y_i>x_i$

• $y \sdot x$ 是内积 $\sum^{n}_{i=1}x_iy_i$

No-Arbitrage

设 h,k 是两个 portfolio

1. Law Of One Prize (LOOP) if $Xh = Xk$ then $p\sdot h = p \sdot k$

2. No Strong Arbitrage(NSA) if $Xh \ge 0$ then $p \sdot h \ge 0$

3. **No Arbitrage **(NA) if $ Xh>0$ then $p \sdot h > 0$

Three lemmas:

1. LOOP implies that every portfolio with 0 payoff has zero prize.
2. NA implies NSA
3. NSA implies LOOP

定义

$v(z)=\{p\sdot h: z= Xh\}$

v 可以理解为所有资产组合的价格的集合，z 是一个组合的payoff，是列向量

如果 LOOP 成立，则 v 是一个线性泛函。也就是说，它把$<X>$ 映射到了 $R$

1. $v$ 是单值的，因为如果 $Xh=z$ ，根据 LOOP 则存在一个唯一的 $p\in R^j $ 使得 $p \sdot h = v$.

   所以我们可以写成 **$v(Xh) = p\sdot h$ **（函数体现出来了）

2. $v$ 在$<X>$上是线性的

   $v(\alpha z_1 + \beta z_2)=\alpha v(z_1)+\beta v(z_2)$

3. $v(0)=0$

反向也正确，也就是说，如果$v$是$<X>$上的线性泛函，则 $LOOP$ 成立。

State Prices

定义

$q\in R^S$ 使得 $p=X'q$

所以$q$ 是一个$列$向量，和 $p$ 一样。

速记

h z q 都是列向量

p 是行向量

定义

线性泛函$V$是价值评估函数当且仅当

1. 对每一个$z\in<X>$ 都有 $V(z)=v(z) $
2. 对每一个$z\notin <X>$ , $V(z) = q' \cdot z$ 对 $q\in R^s$ with $q_s=V(e_s)$

也就是说 $V把v$ 从$<X>$扩展到了$R^S$

其中 $e_s$ 是个基向量

Proposition

若 LOOP 成立, q 是 state price 则对所有的$z\in <X>$ , $V(z) =q'\cdot z$

反之也成立。即 iff q 是个 state price 且 loop 成立，则对所有的 $z\in R^S$，$V(z)=q' \cdot z$

Fundamental Theorem of Finance

Proposition 1

Security prices exclude arbitrage iff there exists a valuation functional with $q>>0$

Proposition 2

Let $X$ be a $S\times J$ matrix, and $p\in R^j$. There is no $h\in R^j$ satisfying $h\cdot p \le 0$, $Xh \ge 0$ and at least one strict inequality iff there exists a vector $q\in R^S$ with $q>>0$ and $p=X'q$.

中心思想

the absence of arbitrage is equivalent to the existence of a vector of positive state prices.

Pricing Kernel

q 可以有无数个，然而 kernel 只有一个。就是这个 q 在 $<X>$ 上的投影。说白了就是 q 在 $<X>$ 上。

Proposition 3

Markets are complete and there is no arbitrage iff there exists a unique valuation functional.

Asset Pricing Formulas

要推导！

State Price Model

$p_j = \sum^{S}_{s=1}q_sx_s^j$

这就是 $p=X'q$ 没啥好讲的

Stochastic Discount Factor

$p_j=\sum^S_{s=1}\pi_s\frac{q_s}{\pi_s}x^j_s$

$\pi$ 是每个 state 发生的概率。

定义 stochastic Discount Factor

$m_s = \frac{q_s}{\pi_s}$

所以可以说

$p_j = \sum^S_{s=1}\pi_sm_sx_s^j=E[m\cdot x^j]$

因为

$p_j = E[m\cdot x^j]=E[x^j]E[m]+Cov[m,x^j]$

假设存在一个 risk-free bond $x_s^b=1$

我们有 $p_b = E[m] = \frac{1}{R^f}$

其中 $R^f$ 是 risk-free return。

这样子对任意 $j$

$P_j = \frac{E[x^j]}{R^f} + Cov [m\cdot x^j]$

典型情况下 $Cov[m,x^j]$ < 0.

定义 $R_j=\frac{x^j}{p_j}$ 则可以得到 $E[m\cdot R^j] = 1$.

因为对于一个 risk-free bond $R^f = \frac{1}{E[m]}$ 我们可以写出 $E[m\cdot(R^j-R^f)]=0$ 或者

$E[m\cdot (R^j-R^f)]=E[m](E[R^j]-R^f)+Cov(m,R^j)=0$

也就是说

$E[R^j]-R^f = -\frac{Cov(m,R^j)}{E[m]}$

所以对于一个资产$j$的超额收益单纯只和协方差与随机贴现因子有关。所以一个投资者只能得到系统性风险的补偿。

equivalent martingale measure

等价鞅 风险中性概率

$p_j = \sum_{s=1}^Sq_sx_s^j$

对于无风险债券

$p_b = \sum^S_{s=1} q_s = \frac{1}{1+r^f}$

其中 $r_f$ 是无风险净return.

$p_j=\frac{1}{1+r_f}\sum^S_{s=1}\frac{q_s}{\sum^S_{s=1}q_s}x_s^j = \frac{1}{1+r^f}\sum^S_{s=1}\hat{\pi_s}x_s^j = \frac{1}{1+r^f}E^Q[x^j]$

其中

$\hat{\pi_s}=\frac{q_s}{\sum_{s=1}^Sq_s}$

也就是说$\hat{\pi_s}$是s状态价格占总状态价格的比重。

State-Price Beta Model

在CAPM模型里会详解。

Chapter 4 Risk Preferences and Expected Utility Theory

State-by-State Dominance （SSD）

given two random variables $X$ and $Y$ defined over the state space ($\Omega$,F,P), we say that Y State-by-State dominates X if $\forall \omega \in \Omega\; X(\omega)\le Y(\Omega)$

定义有点复杂，其实就是每一个state的收益都占优。

mean-variance dominance

算期望收益和方差

期望收益大且方差小的更好。

Sharpe Ratio

$Sharpe\;Ratio = \frac{E[R]-r^f}{\sigma(R)}$

Stochastic Dominance

First Order Stochastic Dominance

let F_A and F_B represent, respectively, the cumulative distribution functions of two random variables (investments payoff) defined in the interval [a,b]. We say that $F_A$ first-order stochastically dominates (FSD) $F_B$ if $\forall x \in [a,b]\;F_A(x) \le F_B(x)$

在任何时期，B的累计分布函数都大于等于A，称 $ F_A $ FOSD $F_B$ .

Second Order Stochastic Dominance

$F_A$ SOSD $F_B$ if $\forall x \in [a,b]$

$\int^x_a[F_B(t)-F_A(t)]dt \ge 0$

要每一点的累积分布函数的差的积分大于0.

也就是说，如果$F_A(t)$ 稍大了一点点但是后来一直远远小于$F_B(t)$ 那也不能说 A 比 B 强，只能说无法比较。

FOSD implies SOSD.

Mean-Preserving Spread

we say that the random variable $x_A$ is a mean-preserving spread of the random variable $x_B$ if $x_A =x_B + \epsilon$, where the random variable $\epsilon$ is independent of $x_B$, and has zero mean and positive variance.

Proposition

Let $F_A$ and $F_B$ be the CDFs of two random variables $x_A$ and $x_B$ defined on the same space with identical means. Then $F_A$ SSD $F_B$ iff $x_B$ is a mean-preserving spread of $x_A$.

derive 要考！

Certainty Equivalent

it is the certain payoff which gives the same expected utility as the uncertain lottery $p$.

if $E[u(x)]$ is the expected utility of lottery $p$, $u^{-1}(E[u(x)])$ will be the certainty equivalent of $p$.

Jensen’s Inequality

Let $g$ be concave over $[a,b]$ and let $x$ be a random variable such that $P[x\in [a,b]] = 1$. If the expectations $E[x]$ and $E[g(x)]$ exist, then $E(g(x))\le g(E[x])$. Forthermore, if $g(\cdot)$ is concave then then the inequality is strict.

Risk Aversion

1. Absolute Risk Aversion

$R_A(Y) = -\frac{u''(Y)}{u'(Y)}$

2. Relative Risk Aversion

$R_R(Y) = -Y\cdot \frac{u''(Y)}{u'(Y)} = Y \cdot R_A$

3. Risk Tolerance

$R_T(Y) = \frac{1}{R_A(Y)}$

Constant Absolute Risk Aversion

CARA utility function

$U(x) = -e^{-\rho Y}$

Constant Relative Risk Aversion

CRRA utility function

$U(x)=f(x)=\left\{ \begin{aligned} \frac{Y^{1-\tau}}{1-\tau}\quad if \; \tau \ne 1 \\ ln Y \quad \quad if \;\tau =1 \end{aligned} \right.$

Q: When utility function invariant when you transform wealth?

A: Risk Neutral. When $R_A=0$.

Q: economic meaning of relative and absolute risk aversion

A: They measure the change in the investment due to the change in the wealth. Relative one measues the ratio whether absolute one measures the total amount.

Portfolio Allocation

$\frac{a}{Y_0} = \frac{(1+r^f)(E[r]-r^f)}{(r_2-r^f)(r^f-r_1)}>0$

Savings

smooth consumption and collateral constrain.

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